開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的1篇學科想象的生成策略，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。

摘要：數學學科想象是指學生在數學學習過程中基于自身對學習內容的感知理解、已有知識和經驗以及他人的幫助和指導進而對學習內容進行意象建構的學習活動。數學學科想象能促進學生想象力的發展，助力數學問題的解決，推動數學學科的革新。發展學生的數學學科想象，數學教師在課堂上可采取如下策略：精心組織材料，引導學生多維思考；巧用直觀教具，輔助學生進行探索；嵌入信息技術，助力學生大膽想象；善于利用“數感”，鼓勵學生借“感”發揮。

關鍵詞：數學學科想象內涵學科核心素養

數學課堂本是充滿疑惑和想象的地方，但在實際的課堂教學中卻存在為了追求“效率”“高分”而無視賦予數學以趣味之想象的現象。2022年4月21日，教育部頒布的《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《數學課程標準》）在對數學學科核心素養內涵的闡釋中就明確指出要使學生“形成對數學的好奇心與想象力”，學生數學學科想象的培育理應作為數學學科的目標之一，貫穿數學教學的全過程。然而，在實際的數學課堂教學中，數學學科想象卻未得到足夠的重視。鑒于此，本文討論數學學科想象的內涵、價值及其生成策略的問題。

一、數學學科想象的內涵

1.數學學科想象的含義

從古希臘、羅馬時期一直到啟蒙運動晚期，想象一直被抑制，讓位于理性。柏拉圖（Plato）視其為“理智的較低層部分”[1]，亞里士多德（Aristotle）認為“想象可能是一種有用的智力的仆人”[2]，諸如此類的對于想象的誤解直到19世紀浪漫主義作家對想象的大力推崇才得以緩解。近現代以來，想象身上的污名被逐漸洗凈，想象的重要性得到世人的公認，杜威（Dewey，J.）更是直言“想象是與肌肉運動差不多的、構成正常的人類活動的必須的一部分”[3]。那究竟什么是“想象”呢？通過文獻梳理，發現對想象的定義主要可以分為以下三類。其一是通過分析想象的內在生成元素來定義想象。如，在心理學上“想象”被視作為一種高級的認知活動，是指“對頭腦中已有的表象進行加工改造，形成新形象的過程。”[4]在《教育大辭典》中，“想象”被解釋為“對過去經驗和已有記憶表象加工改造，構成新意向或觀念的心理過程。內容可能是過去經驗的心理回顧，也可能是對未來的計劃。”[5]其二是從想象的外在表現形式對想象進行界定。如，杜威（Dewey，J.）認為想象是“使任何活動不呆板”[6]的事物；MaxineGreene將想象定義為“從不同的角度看待事物”[7]。其三是對前兩種定義的綜合。如郭元祥教授認為“想象不僅是圖像或表象生成的精神活動和心理活動及其所表現出來的能力，更指向心靈的靈活性和超越性，是一種能動思考多種可能性的活動和能力，通過意識到隱藏的或另類的可能性來更加批判地把握現實。進而從對真實事物的遇見中或基于語言、文字、符號的表述中預見一種不在眼前的可能狀態、景象、意象或意境。”[8]概括而言，從想象發生的開端、過程、結果三方面來看，想象具有如下特點:在起始階段，想象表現出對象性和基礎性。對象性是指想象的發生基于對客體“此在”的感知、認識、思考、探索，不是無根無源消極的幻想。基礎性是指想象的發生源自一定的知識、經驗或情感等可供加工利用的材料，正如KeiichiTakaya所言：“一個人缺乏知識或技能是無法變得有想象力的”[9。由此可知，由于學生個體已有知識背景的不同，想象的結果存在差異的概率較大。在想象的過程中，想象表現出靈活性和內隱性。靈活性如克爾隆·伊根（Egan，K.）所指，“是一個人具有用一種不被諸如傳統、文化標準、習慣性思維和別人傳遞的信息等事實緊緊限制的方式進行思考的能力和傾向”[10]，是想象自由的表現。內隱性指出想象活動的進行存在于想象主體內部，具有非外顯性，想象主體之外的人難于窺視。從想象的生成結果看，想象具有超越性和開放性。超越性具有創造性意味，指想象的結果新穎、不同尋常。超越性具有強烈的個體屬性，其評判標準基于想象主體的想象結果是否超越自己迄今為止取得的成就。開放性是指想象生成的結果具有不確定性，對任何可能的結果形式均保持開放。什么是數學學科想象呢？在中國知網（CNKI）以主題為檢索項，“數學學科想象”為檢索詞，截止時間設置為2022年8月1日，共計檢索期刊文獻73條。對檢索結果整理發現研究者多從“數學直觀想象素養的培養”角度出發研究“數學”與“直觀想象”二者間的關系，并未有對“數學學科想象”的內涵進行深入剖析的研究。將檢索詞重新設定為“學科想象”，共計檢索有效文獻9條。其中，羅祖兵教授認為學科想象“是基于學科知識和學科邏輯的想象”[11]。胡革新校長把學科想象定義為“基于感知和已有經驗，對符號知識進行加工而構建新的圖像、意象、意境和意義的認知過程。”[12]郭元祥教授認為學科想象是“一種‘意象性的認知’，是學生在學科學習中基于感知理解、思維過程、已有經驗和學科知識的加工而建構意象的學習活動，是學科學習的重要學習方式，是基于形象思維建立新的圖像表征并建構意象的一種綜合學習能力。”[13]上述關于“學科想象”的定義大同小異，但其均有力地論證了想象之于學科學習的重要性。就數學學科的學習而言，“想象發揮著比其他體驗更為重要的作用”[14]，數學學科想象是學科想象在數學學科上的具體展開，是數學化的學科想象。數學是研究數量關系和空間形式的科學，“數”與“形”的抽象本就兼具想象特性，因此學生學習數學學科的大門更需要由想象來開啟。具體而言，數學學科想象是指學生在數學學習過程中基于自身對學習內容的感知理解、已有知識和經驗以及他人的幫助和指導進而對學習內容進行意象建構的學習活動。數學學科想象從觸發到想象結果的生成具有和想象一樣的六大特性，但其所涉及的知識結構、經驗基礎等有其特有的學科屬性。數學學科想象是學生在數學學科的學習過程中表現出的一種素養，并不是想象在數學領域的簡單遷移運用，恰如KeiichiTakaya所言：“一個在某一活動領域充滿想象的人在不同活動領域可能有也可能沒有豐富的想象力”[15]。

2.數學學科想象的表現形式

《數學課程標準》中提出的三大核心素養和數學學科想象發生的過程特性之間存在對應關系，表明數學學科想象內在于數學核心素養的培養過程之中，數學學科想象是學生數學核心素養的一種表現形式。具體說來，數學學科想象包括以下三方面的內容：第一，在“用數學的眼光觀察現實世界”素養維度，數學學科想象表現為對數學問題的集中、指向以及對數學問題解決中涉及到的數學概念、規則、命題、公式、運算法則等數學學科知識的掌握。第二，在“用數學的思維思考現實世界”素養維度，數學學科想象表現為運算能力、推理意識或推理能力，并強調這種數學思維過程源于“靈感突現”以及對數學問題的“直覺”。第三，在“用數學的語言表達現實世界”素養維度，數學學科想象表現為數據意識或數據觀念、模型意識或模型觀念、應用意識、創新意識，并強調最后結果的呈現形式與之慣常的結果相比存在差異。綜上所述，數學學科想象的具體表現形式見表1。

二、數學學科想象的價值

1.促進學生想象力的發展

教育部頒布的《數學課程標準》從官方角度明確提出發展學生的“好奇心、想象力和創新意識”。由此可見，培育學生的想象力已成為數學學科的重要任務之一。然而，通過數學培育學生的想象力在實踐層面卻遭到雙重阻礙。其一，學生想象力的培被視為藝術類學科的專屬權利。《義務教育藝術課程標準（2022年版）》在課程性質上指出“義務教育藝術課程包括音樂、美術、舞蹈、戲劇（含戲曲）、影視（含數字媒體藝術），是對學生進行審美教育、情操教育、心靈教育，培養想象力和創新思維等的重要課程”。雖然藝術課程在官方文件中指出是培養學生想象力的“重要課程”，但在實踐中卻被認為是培養學生想象力的“唯一課程”。藝術課程對于培養學生想象力的功能不容置疑，但“沒有理由讓人相信，某一領域富有想象力與其他領域富有想象力有必然聯系。想象力不是一種可以被單獨開發、然后被應用于各種背景的能力”[16]。數學對于學生想象力的培養有其特定、不可替代的作用。其二，反復、盲目地刷題成為數學課堂教學的主旋律。受高考考試招生制度“唯分數論”等的影響，中小學數學課堂教學中仍存在滿堂灌的教育現象。數學教師將學生原本可以用以觀察、探索、思考、想象的時間偷換為學生做題、練習的時間，學生淪為做題的機器，“數學使諸多人心醉的巨大的驚奇和樂趣在學校教育中被大量破壞了”[17]，數學課堂變相成為學生想象力的屠宰場。其實數學是一門充滿想象的學科，掌握數學知識與培養學生的數學想象力并不沖突。學生對于呈現的數學教學材料，結合自身原有知識經驗，在腦海中進行探索求知，得出多樣的答案，也是學生想象力的體現。當前的數學課堂教學過于重視學生對知識的正確掌握，為了防止學生對知識的錯誤理解，幾乎不給學生留有思考的空間，而選擇直接呈現問題的結果，這種教學做法易導致學生在考試時對于靈活性、開放性題目的作答情況極差。唯有在日常數學教學中注重給予學生足夠的思考時間、出錯的機會，學生的數學想象力才能肩負起實踐的考驗。

2.助力數學問題的解決

在做數學的過程中，數學學科想象扮演著重要的角色。雖然對于數學問題的解決，邏輯推理必不可少，但是“想象不是與理性相區別的事物，而是給予理性靈活性、活力和生動性的事物。”[18]中小學的數學教學內容涉及數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四大領域，其中綜合與實踐領域重在解決實際問題，是前三大領域知識的綜合運用。無論是在單一領域的問題解決中還是在混合領域的問題解決中，數學學科想象都是開啟未知問題解決大門的鑰匙。如，在圓面積公式的學習中，學生怎么能想到把圓進行無限等分轉換成平行四邊形進而來進行圓面積的求解呢？除教師引導之外，正是想象賦予學生剎那間的靈感，以及二者之間產生關聯的“可視化”，使得學生有了思考以及動手實踐的方向。正是學生的數學學科想象促進圓面積公式的意義生成。與之相比，如果不借助想象，教師直接將圓的面積公式告訴學生，學生或許短時間內能夠借助圓的面積公式解決數學問題，但是這對于學生來說，終究是表層學習，在復雜的變式面前學生仍然束手無策。簡言之，數學學科想象在數學問題解決的過程中以增加學生思維的靈活性，賦予學生解題“直覺”，最后促成數學問題的解決。

3.推動數學學科的革新

數學學科是一個動態的存在，始終處于一個不斷修正、更新，向前發展的過程之中。第一次數學危機的出現使得人們對數的認識從有理數擴充到了無理數，標志著由畢德哥拉斯學派建造的長達幾百年的“萬物皆數”（指整數）的信念寶塔的崩塌；第二次關于“無窮小究竟是不是0”的數學危機促成了微積分以及實數領域的完善；第三次數學危機的出現（羅素悖論）使得早已被千家萬戶接納的集合論思想受到質疑……每一次“數學危機”的出現，都是數學學科領域的一次重大革命性突破，具有不可估量的價值。試問在數學學科前進的道路上，什么因素起著至關重要的作用呢？答案是想象，數學學科想象。“想象對于找出問題的解決辦法是重要的，但它并不滿足檢驗和證明的需要，而探索真理卻以此為先決條件。”[19]愛因斯坦也指出：“想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。”[20]具體來說，數學學科想象助推數學學科進步的力量主要體現在以下兩方面。第一，通過解決現實沖突直接推動數學學科的向前發展。以小學數學為例，在解決半個蘋果與一個蘋果是否都能用“1”來表示的沖突中，學生對數的認識從自然數擴充到了分數；在解決零上10℃與零下10℃是否都能用“10”來表示的沖突中，學生對數域的掌握從正數擴充到了負數。在解決此類現實沖突中處處可見數學學科想象的身影。第二，通過回答數學難題間接助力于數學學科的進步。如古希臘時期留下的三大幾何問題之一———“化圓為方”（即用尺規作圖，做一個正方形與給定的圓面積相等）。各代數學家都對此進行了不懈的探索，最后該難題由德國數學家林德曼所破解。林德曼借助數學學科想象提出了π的超越性，也就是π不可能是任何整系數代數方程的根。在π的超越性概念下，不僅該幾何問題得到了解決，數學代數領域也有了新的發展。數學學科想象在數學學科的進步中所發揮的作用恰如克爾隆·伊根（Egan，K.）所說：“如果我們想解決我們以前從未解決的問題，我們就必須讓大門為未知半開著，而那扇門是由想象來打開的”[21]。正是在數學學科想象的推動下，才有今天如此異彩紛呈的數學王國。

三、數學學科想象的生成策略

1.精心組織材料，引導學生多維思考

“多維思考能鍛煉學生思維的靈活性，思維方式不再單一化和固化。”[22]數學教師在課堂上善于引導學生對所提供的教學材料進行多維思考，是培養學生數學學科想象的重要方式。多維思考是指對一個事物進行多角度的思考。比如，在求解長方體體積的時候，除了可以用慣常的“長×寬×高”的長方體體積計算公式來進行求解，學生還可以思考能否轉換成正方體來求解（擴大或縮小）？能否轉換成四棱柱來求解（切割）？能否建立空間直角坐標系來求解？等等。要培養學生的多維思考能力，教師在日常的教學中就要注重材料的精心組織。材料的有效組織，可以從以下兩方面著手：第一，多用變式。變式是指在不改變知識的本質概念下，從不同的角度來呈現知識。如，在“一個三角形的三角和等于180°”這一知識點的教學中，教師可以通過讓學生分別動手量一量銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三個角的度數，在相加求和來進行教學。教師亦可以通過正方形、長方形等來進行教學，因為正方形、長方形的四個角都是直角，四角之和是360°，沿著對角線將正方形、長方形劃分成兩個三角形之后，便自然而然地得出三角形的三角之和是180°的結論。顯然，通過變式不僅促進了學生對該知識點的深度認知，還給予學生的數學思維、數學學科想象更大的發展空間。第二，提供正、反例。以“對頂角的性質”的學習為例，正例的提供多是基于“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”這一定理，在實際教學中教師可以構造兩相交直線的情境考察學生對于該知識點的掌握情況。但是緊接著教師如果給出一個反例：已知∠1和∠2相等，請問它們是對頂角嗎？就會讓學生進一步明晰：相等的角不一定是對頂角，對頂角定理的逆定理不成立。比如兩直線垂直，那么一個角和它的相鄰角就都是90°，但是二者并不是對頂角。正、反例同時出現的數學教學有利于學生對相關知識學習的深層次厘清，同時促進學生的多維思考。總之，教師對教學材料的精心組織，有利于增加學生思維的靈活性，進而促進學生數學學科想象的生成。

2.巧用直觀教具，輔助學生進行探索

中小學生的邏輯思維能力隨著年齡的增長逐漸從具體形象思維過渡到抽象邏輯思維，但無論在哪個階段，直觀教具的使用對于學生理解知識、減輕思維負擔，啟發學生想象都有助力作用。如，在北師版小學一年級上冊第一單元關于“10以內的數”的教學中，學生對于數的認識便借助于直觀形象的真實事物或圖片，諸如“一個橘子”、“兩根香蕉”、等等。采用直觀教具進行教學對于低年級學生來說不僅符合其認知發展規律，還有利于他們感知、想象。當學生們知道一個橘子是“1”的時候，那么一頭大象、一座房子、一輛公交車等等就都是“1”。采用直觀教具進行的教學相比于直接使用抽象符號“1”進行教學更有利于學生利用數學學科想象探索這個世界，獲得對世界更全面、深入的感知。由上可知，在使用直觀教具時需要注意以下兩點。第一，直觀教具的選擇要貼近學生生活。只有從學生已有生活經驗出發，學生才會對所學內容感到“熟悉”，進而促進知識學習的意義生成。第二，直觀教具的使用要服務于教學內容。直觀教具的使用是作為手段，在教學過程中輔助學生展開想象，獲得對知識意義的更鮮活、更深層次的理解，若將直觀教具的使用作為目的，則背離了使用直觀教具的初心。

3.嵌入信息技術，助力學生大膽想象

“教育信息技術的革新為教育教學注入活力與動力，推動教育教學效率與質量不斷提升”。[23]數學課堂教學從最初的只能借助于教師的言傳身教到19世紀后半葉幻燈片的出現、20世紀70年代，融合了文字、圖片、聲音、視頻等多種媒體于一體的電子計算機的出現，再到今天AI（人工智能）、VR（虛擬現實）、AR（增強現實）、MR（混合現實）等技術的相繼出現，標志著課堂教學各種“可能性”的實現。對于學生來說，教育技術的不斷革新則為其進行探索、想象提供了物質條件上的支撐。如在探究“圓的面積”時，采用的策略是將圓等分為多個扇形，然后拼接成一個近似的平行四邊形（S=dr），此處平行四邊形的底則為圓周長的一半（d=πr），平行四邊形的高為圓的半徑（r），從而得出圓的面積公式S=πr2。但是圓的周長是曲線，平行四邊形的底是線段，二者怎么能建立起直觀的聯系呢？答案就是想象。此時若在實際教學中借助教育技術，實現對圓的無限等分，便可以形象地建立起圓的周長與平行四邊形的底二者之間的聯系，即使得“化曲為直”可視化。從這個角度可以說，只要學生“敢想”，技術上就能提供驗證。為充分發揮信息技術在培養學生數學學科想象中的作用，增進數學教師的信息技術應用能力可以從以下兩方面入手。第一，購買線上培訓資源。在信息化程度越來越高的智慧時代，通過學習線上培養數學教師信息技術應用能力的課程，可以高效、便捷地提升數學教師的信息技術應用能力。諸如七點半學苑、千聊等平臺上有大量的相關課程，學校應出資統一購買此類課程，為數學教師的無憂學習提供后勤保障。第二，加強線下學科互涉。數學教師和信息技術等教師之間應加強溝通，取人之長，補己之短，通過學科之間適度地相互融合，實現數學課堂與信息技術的深度融合，豐富數學課堂教學，為學生數學學科想象的生成提供技術上的支撐。

4.善于利用“數感”，鼓勵學生借“感”發揮

“數感”是一種直覺式的預感，有著工具性的依靠特征。“數感”在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中是數學核心素養的主要表現之一，其內涵為：“對于數與數量、數量關系及運算結果的直觀感悟”[24]。然而此處所指出的“數感”不僅包括作為上述概念所提出的“數感”，還包括對數學圖形的感悟、數學符號的感悟、數學問題的感悟等等，簡言之，是對“數學”整體的一種感覺。這種數學感覺區別于情感意義上對數學的喜好，更多的指向數學問題解決。數感類似于美國著名教育學家布魯納（Bruna.J.S.）提出的直覺思維，需要進行澄清的是數感和直覺一樣，不是只有形式而無內容。布魯納（Bruna.J.S.）在《教育過程》中指出：“有關學習的一些實驗表明，為了有效地用直覺方法運用材料，精通材料是重要的。”[25]換言之，數感的產生建立在學生對數學知識具有一定的掌握之上。數感如同想象一樣，人皆有之，數學教師在課堂教學中要善于引導學生順著這種感覺繼續進行思考、想象、探索。具體而言，在教學中為了幫助學生借“感”發揮，教師可采取下述策略。第一，將自身借“感”發揮的內隱過程顯性化。如在一些需要做輔助線段的幾何題中，教師可以用言語分享自己的解題思路。在具體操作中，教師應該首先表明自己覺得應該怎么做輔助線，即用尚不充分的證據來進行猜測。如果有學生問道“為什么要這么做呢？”，教師可以明晰地回答給學生“感覺”。在接下來的教學時間里，教師就在做好輔助線的基礎上，一步步地反推以驗證自己猜想的正確性。在這個解題過程中，教師不僅示意了學生如何借感發揮，其本身也成為一個可供效仿的榜樣。第二，教授各種啟發式方法。如前所述，數感不是胡思亂想、憑空捏造，而是建立在對特定知識的感知、理解基礎之上。從這個角度講，數感的發生有跡可循。就具體的啟發式方法而言，主要有：聯結法，即將知識融入已學知識的體系中，綜合整體知識的特點進行想象；相關法，即提煉出知識的典型特征，并將其與相關的材料進行整合，從而進行想象，等等。第三，給學生留夠時間，鼓勵學生探索。數感很玄妙，學生難以用語言解釋清楚。因此，當學生產生了感覺之后，教師應盡量給予學生足夠的時間，鼓勵學生繼續思考下去，切忌不加思考地否定學生、打擊學生。

參考文獻

[2][7][9][10][14][15][16][17][18][19][21]KieranEgan，等.走出“盒子”的教與學：在課程中激發想象力[M].王攀峰，張天寶，等，譯.上海：華東師范大學出版社.2010:5、62、19、21、57、24、97、17、18、15、9.

[4]彭聃齡.普通心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2012:315.

[5]教育大辭典.上海：上海教育出版社.1992：1401.

[8][13]郭元祥,李新.遇見與預見：學科想象的生成及想象教學[J].教育研究,2021,42(09):39-49.

[11]羅祖兵.教學應充滿學科想象[J].湖北教育(教育教學),2020(11):1.

[12]胡革新.讓學生與知識真切相遇：“深度教學”的校本實踐[J].中小學管理,2021(07):20-22.

[20]愛因斯坦.愛因斯坦論教育[M].許良英，等譯.北京：商務印書館，2016:1.

[22]李旭.結構化教學,讓“學會學習”自然發生———以“乘法分配律”教學為例[J].教育觀察,2018,7(20):93-94.

[23]房承山.信息技術在教與學變革中大有可為[J].人民教育,2022(09):75.

[24]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[S].北京：人民教育出版社,2022:4.[325布魯納：教育過程[M].邵瑞珍，譯.北京：文化教育出版社，1982：68.

作者:邱麗 單位:華中師范大學教育學院